La méthode DORT

Les premiers miroirs acoustiques à retournement temporel ont été développés à la fin des années 80. Depuis, la capacité de tels systèmes à focaliser à travers des milieux complexes en présence de diffusion multiple (guides d’ondes, forêts de tiges, cavité chaotique), avec des qualités de focalisation exceptionnelles a été démontrée. Dans ces expériences, l’onde issue d’une source placée dans le milieu est retournée temporellement pour focaliser à la position initiale de la source. Le pouvoir focalisant du retournement temporel trouve aujourd’hui tout son intérêt pour communiquer à travers des milieux complexes. Dans bien des situations il n’y a pas de source active dans le milieu, mais le miroir à retournement temporel peut être utilisé en mode échographique pour solliciter des sources secondaires : on parle alors de retournement temporel en mode échographique.
Nous avons montré l’efficacité des miroirs à retournement temporel pour détecter une cible à travers un milieu inhomogène et focaliser vers cette cible, de façon adaptative. Nous avons également mis en évidence la possibilité de focaliser sélectivement en milieu multi-cibles grâce au processus de retournement temporel itératif. L’utilisation d’un formalisme matriciel décrivant ce processus itératif pour en étudier la convergence a conduit au développement de la méthode D.O.R.T.
Celle ci a été appliquée à divers types d’onde : en acoustique à la détection acoustique sous-marine par petit fond et au contrôle ultrasonore des solides, puis en électromagnétisme pour la détection radar à travers les murs et en optique à la Caractérisation de diffuseurs optiques.

1- L’opérateur de retournement temporel

Le formalisme matriciel utilisé pour décrire le processus de retournement temporel est présenté ici de manière la plus générale possible.

Deux réseaux constitués respectivement de N émetteurs et M récepteurs insonifiant un milieu invariant dans le temps forment un système linéaire qui peut être décrit par une matrice complexe K(ω) de dimensions MxN. Pour un vecteur signal E(ω) émis par le premier réseau, le vecteur signal reçu par le deuxième réseau est alors le vecteur

R(ω) = K(ω) E(ω)

(1)

La matrice K(ω) est appelée matrice de transfert ou matrice des réponses inter-élément, en anglais, « array response matrix » selon Papanicolaou ou « multistatic data matrix » selon Devaney

Lorsque les deux réseaux sont à la fois émetteurs et récepteurs et que l’on dispose d’une électronique adéquate, on peut effectuer une séquence de retournement temporel itératif. Lors d’une séquence de retournement temporel itératif ayant pour première émission E0.

, le vecteur émis après 2n opérations de retournement temporel s’écrit

E2n = (tK*K)nE0.

(2)

La matrice (tK*K)n qui apparaît ainsi est l’Opérateur de Retournement Temporel (ORT).

Dans la plupart de nos études, le même réseau de transducteurs a été utilisé pour l’émission et la réception. Dans ce cas, la matrice K est carrée et le principe de réciprocité assure qu’elle est symétrique, l’opérateur tK*K se réduit alors à K*K.

Dans tous les cas, l’opérateur de retournement temporel est diagonalisable dans une base orthogonale et un vecteur propre de tK*K peut être considéré comme un invariant du processus RT.

Lorsque les réseaux sont soit émetteurs soit récepteurs, l’expérience de retournement temporel peut être faite par la pensée, et les résultats énoncés ci-dessous conservent leur sens.

Le principal invariant de l’opérateur de retournement temporel
est la limite d’un processus de retournement temporel itératif. En effet, lorsque l’on élève la matrice tK(ω)*K(ω) à la puissance n, elle converge vers λ1(ω)nV1(ω)tV1*(ω)λ1(ω) est la plus grande valeur propre et V1(ω) le vecteur propre associé. Une itération du processus ayant pour première émission E0(ω) converge donc vers

E2n= λ1(ω)n[E0(ω).V1(ω)] V1(ω)

(3)

Par conséquent, à chaque fréquence, si la première émission n’est pas orthogonale à V1(ω), le processus converge vers le vecteur V1(ω) à un coefficient multiplicateur près.

En toute rigueur, le processus itératif converge vers un signal monochromatique de fréquence ω0 pour laquelle λ10) est maximale. Ce formalisme ne tient pas compte de la sélection d’une fenêtre temporelle de durée finie à chaque itération, toutefois, il est suffisant pour donner une bonne appréciation de la convergence du processus.

Lorsqu’un milieu contient plusieurs diffuseurs résolus, l’itération du processus de retournement temporel sélectionne naturellement le front d’onde convergent vers le diffuseur le plus réfléchissant. Ce front d’onde est un ‘invariant’ de l’opération de retournement temporel. C’est ainsi que l’on peut espérer sélectionner l’écho d’un défaut noyé dans un bruit de structure, comme cela a été fait pour le < contrôle des billettes de titane->article101>, ou bien sélectionner le point le plus brillant d’un calcul rénal.

2- La Décomposition de l’Opérateur de Retournement Temporel.

Les autres invariants du processus de retournement temporel recèlent aussi beaucoup d’information sur le milieu. Ils peuvent être déterminés par diagonalisation de la matrice tK(ω)*K(ω). C’est l’étude des valeurs et vecteurs propres de cette matrice qui est à la base de la méthode de Décomposition de l’Opérateur de Retournement Temporel.

Comme le processus de retournement temporel, la méthode D.O.R.T. exploite la réciprocité de la propagation acoustique. En revanche, elle ne nécessite pas de générateur programmable comme ceux qui sont utilisés dans les miroirs à retournement temporel. Soulignons ici que cette méthode n’est valable que dans le domaine de l’acoustique linéaire. Par ailleurs, elle s’applique aussi au domaine de l’électromagnétisme .

La méthode D.O.R.T. consiste donc à déterminer, analyser et éventuellement exploiter les invariants de l’opérateur de retournement temporel. Pour cela, il faut, dans un premier temps, mesurer les réponses impulsionnelles inter-éléments du réseau de transducteurs face au milieu étudié : si le réseau comporte M transducteurs émetteurs et N transducteurs récepteurs, alors on mesure NxM signaux. La deuxième étape consiste à calculer, par transformée de Fourier de ces signaux, la matrice de transfert K(ω) du système, puis à effectuer, à chaque fréquence, sa décomposition en valeurs singulières afin de déterminer les directions fixes de l’opérateur de retournement temporel tK(ω)*K(ω). Tout l’intérêt réside alors dans leur interprétation physique et dans bien des cas la connaissance des ces invariants fournit une information précieuse sur le milieu.

En pratique, la diagonalisation de tK(ω)*K(ω) est obtenue par décomposition en valeurs singulières de la matrice de transfert K(ω).

K(ω) = U(ω) S(ω) tV(ω)*

(4)

U et V sont des matrices unitaires et S une matrice diagonale réelle. Lorsque toutes les valeurs propres sont non dégénérées, la décomposition est unique à un facteur de phase près sur les colonnes de U et V. Les valeurs propres de tK(ω)*K(ω) sont tout simplement le carré des valeurs singulières de K et les vecteurs propres sont les lignes de la matrice V. Cette décomposition présente l’avantage d’être définie pour des matrices rectangulaires, fournissant alors des vecteurs singuliers pour la réception ou pour l’émission.

- Cas de diffuseurs isotropes ‘idéalement’ résolus

Le résultat essentiel établi dès 1994 pour un unique réseau d’émetteur-récepteur est le suivant : considérant un ensemble de diffuseurs isotropes ‘idéalement résolus’ par le système et de ‘réflectivités apparentes’ distinctes, on peut affirmer qu’à chaque diffuseur correspond un couple vecteur propre - valeur singulière (V, λ). Plus précisément, si c est le coefficient de réflectivité du diffuseur et si H est la réponse de ce diffuseur à l’ensemble des transducteurs, alors le vecteur propre est V=H* et la valeur propre est λ = |c| ||H||2. L’hypothèse ‘idéalement résolus’ signifie que les réponses de deux diffuseurs distincts sont orthogonales. Dans ce cas, un invariant de l’opérateur de retournement temporel est un vecteur qui focalise sur l’un des diffuseurs et la valeur singulière associée peut être interprétée comme la ‘réflectivité apparente’ de ce diffuseur à la fréquence considérée.

Ce résultat se généralise aisément à des réseaux de transducteurs distincts pour l’émission et la réception. Il est très simple à démontrer lorsque l’on utilise la décomposition en valeurs singulières de la matrice des réponses inter-éléments. En effet, en diffusion simple, la matrice de transfert K s’écrit comme le produit de trois matrices

K = tHt C He

(5)

He est la matrice de propagation des émetteurs vers les diffuseurs, C la matrice diagonale des coefficients réflecteurs ci des diffuseurs et Hr la matrice de propagation des récepteurs vers les diffuseurs. Si les colonnes de He et celles de Hr sont orthogonales, c’est-à-dire si les diffuseurs sont idéalement résolus à la fois par le réseau d’émetteurs et le réseau de récepteurs alors, l’écriture ci-dessus est, à des facteurs de normalisation près, la décomposition en valeurs singulières de K. Les valeurs singulières sont alors

λi = |ci| ||Hri|| ||Hei||

(6)

et les vecteurs singuliers sont les lignes de Hri et de Hei*
La décomposition de l’opérateur de retournement temporel sépare les échos de chacun des diffuseurs. Ce résultat est valable et trouve tout son intérêt lorsque le milieu de propagation est inhomogène. On peut ensuite utiliser chacun des échos pour focaliser sur le diffuseur qui lui correspond.

3- La méthode D.O.R.T. : quelques points techniques

Quelques aspects techniques qui ont été développés pour améliorer la méthode sont présentés dans la suite.

- Acquisition de la matrice des réponses inter-éléments

La façon dont on acquiert les réponses inter-élément du système est déterminante. Dans les premiers temps, la matrice de transfert était mesurée en excitant successivement chaque transducteur du réseau avec une impulsion brève, autrement dit, K était mesurée dans la base canonique. C’est en effet la manière la plus naturelle de procéder, mais lorsque le milieu est atténuant, ou bien en présence de bruit, le niveau de signal peut se révéler insuffisant. Pour augmenter la qualité du signal, on peut émettre des signaux plus longs et surtout exciter plusieurs transducteurs simultanément.

- Choix du signal d’émission

Pour conserver la correspondance temps-distance, on est tenté d’émettre des impulsions aussi brèves que possible. Toutefois, si le temps d’aller-retour le permet, il est très efficace d’utiliser un ‘chirp’, par exemple, une sinusoïde, apodisée par une fonction de Hanning de durée T, et dont la fréquence varie linéairement avec le temps K(ω) = U(ω).S(ω) V*(ω) où fmin et fmax délimitent la bande passante du transducteur. L’énergie émise par chaque transducteur est alors optimale et la corrélation des signaux reçus par le même ‘chirp’ permet de restituer la correspondance temps distance.
Cette méthode peut toutefois poser des problèmes de dynamique. Par exemple, lorsque l’on cherche à détecter un petit défaut proche d’une interface qui est la source d’un fort écho, la quantification des signaux peut être insuffisante pour retrouver l’écho du défaut après corrélation par le ‘chirp’.

- Choix d’une base d’émission

Afin d’augmenter le rapport signal à bruit, la matrice de transfert peut être mesurée dans une base plus énergétique. L’électronique multi-voies dont nous disposons permet le choix de différentes bases d’émission. On utilise maintenant régulièrement la base d’Hadamard qui exploite au mieux la dynamique des transducteurs et augmente le niveau de signal d’un facteur √n pour un réseau de n émetteurs. Si W désigne la matrice d’Hadamard, on mesure la matrice KW qui admet la même distribution de valeurs singulières que K au coefficient multiplicatif \sqrtn près.

Cette base s’est révélée utile pour mesurer le très faible écho de petits cylindres et même indispensable lors des essais en mer.

Plus généralement, il est possible d’utiliser des familles d’émission qui ne sont pas orthogonales. On a par exemple testé dans le cadre d’un collaboration avec Phillips Research France, l’utilisation d’émissions focalisées telles que celles qui sont utilisées dans les échographes standards.

- Acquisition instantanée avec des codes orthogonaux.

Nous avons travaillé à l’utilisation de codes orthogonaux pour acquérir les réponses inter-éléments de façon quasi-instantanée. Une famille de signaux adaptés qui tient compte du temps de réverbération dans le milieu exploite au mieux la puissance des émetteurs. Cette famille, baptisée AIRS (Adaptive Instant Record Signal) a fait l’objet d’un brevet déposé par le CNRS.

  • Généralisation à des systèmes distincts d’émission et de réception.

Dans un premier temps, la méthode a naturellement été appliquée à un réseau unique d’émetteurs-récepteurs comme ceux qui sont utilisés dans les miroirs à retournement temporel. Nous avons ensuite montré que cette méthode était plus générale et pouvait s’appliquer à des réseaux distincts pour l’émission et la réception. Cette généralisation ouvre de nombreuses possibilités et permet en outre de grouper les éléments à l’émission de façon à augmenter le rapport signal à bruit ou bien de réduire le nombre de voies en émission afin de limiter la quantité de données à traiter, et ce, tout en conservant la bonne discrétisation spatiale du champ à la réception. La méthode devient alors exploitable dans des cas où le retournement temporel n’est même pas envisageable. On peut, par exemple, utiliser des émetteurs ou des récepteurs non réciproques comme c’est souvent le cas en acoustique sous-marine, et toujours le cas en génération et détection d’ultrasons par LASER ou encore en sismique réflexion.

  • Les vecteurs propres ‘temporels’.

Le formalisme utilisé dans la méthode D.O.R.T. est monochromatique, et l’opérateur de retournement temporel est décomposé fréquence par fréquence. Cette analyse fréquentielle est très riche comme on l’a vu dans l’exemple des courbes de dispersion. Dans le domaine ultrasonore où l’on utilise des impulsions de plus en plus brèves, l’extension de la méthode au domaine temporel est très utile, en effet les ‘vecteurs propres temporels’ peuvent être exploités pour construire une image du milieu ou encore pour focaliser temporellement de manière sélective. Reconstituer des signaux temporels en combinant les vecteurs propres obtenus à chaque fréquence n’est pas immédiat dans la mesure où les vecteurs propres sont définis à un facteur multiplicatif près et donc à une phase près. En travaillant sur la détection dans un guide d’onde, nous avons montré qu’en l’absence de croisement des valeurs singulières, lorsqu’un vecteur propre correspond à toutes les fréquences au même diffuseur, il était possible déterminer la réponse impulsionnelle de ce diffuseur à l’ensemble des transducteurs. Ceci fournit donc la fonction de Green spatio-temporelle à partir du point diffuseur. La solution adoptée, dont la validation a été empirique, est la suivante.

Dans le cas d’une matrice de transfert symétrique (émetteurs et récepteurs confondus) on peut imposer l’égalité entre les matrices U et tV* dans la SVD (eq.4), on a alors l’égalité

K(ω) = tV*(ω)S(ω)V*(ω) = tH(ω)C(ω)H(ω)

(7)

Le vecteur Vi(ω) est alors égal à la réponse du diffuseur i normalisée au terme de phase e près. Pour lever cette indétermination de signe, nous avons fait l’hypothèse que la phase de la réponse d’un diffuseur à un transducteur devait être une fonction continue de la fréquence. Cette hypothèse est contestable puisque, par exemple, dans le cas d’une fréquence de résonance, on observe des sauts de phase de π. Toutefois, elle semble bien vérifiée dans nos expériences. Nous avons donc calculé la différence de phase moyenne le long du réseau de L transducteurs pour deux fréquences consécutives.

(8)

Quand il n’y a pas d’erreur de signe entre ωk+1 et ωk alors chacune des différences de phase est faible sauf éventuellement pour les quelques composantes dont le module se rapproche de zéros et si L est assez grand la moyenne permet d’avoir une valeur faible devant 1. S’il y a une erreur de signe alors chaque différence de phase sera proche de p et donc la valeur de cette moyenne sera de l’ordre de 1. Nous disposons donc d’une fonction qui a une valeur très faible sauf quand il y a une erreur de signe et dans ce cas, elle vaut 1. Cette erreur est alors corrigée par un simple changement de signe.


Références :

  • Prada, C ; Fink, M. 1994. Eigenmodes of the time reversal operator : a solution to selective focusing in multiple-target media. WAVE MOTION 20 (2) : 151-163. Wave motion 1994
  • Prada, C. 2002. Detection and Imaging in complex media with the DORT method. IMAGING OF COMPLEX MEDIA WITH ACOUSTIC AND SEISMIC WAVES 84 : 107-133.
    Book series title : TOPICS IN APPLIED PHYSICS, Topics Appl. Phys. 2002

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